Ridisposizioni

Per costruire una corrispondenza biunivoca, devo necessariamente mettere prima quello che viene dopo, perchè già nell'intervallo [0, 1] ho un'infinità numerabile di numeri razionali.
Come fare?
Così: per arrivare per esempio a 137/141, bisogna contare non solo frazionalmente fino a 1/141 (1/2, 1/3, 1/4, ..., 1/141) ma nel frattempo anche fino a 141 - 1 = 140 mettendoci, nell'intervallo [1, 140], non solo tutti gli interi ivi compresi, ma anche tutti i razionali n/m minori o uguali a 140 tali che n e m siano interi primi tra di loro e m sia minore o uguale a 140. A questo punto basterà continuare con tutti i numeri del tipo i/141, con i compreso tra 1 e 137 tale che i e 141 siano primi tra di loro. 
Questo algoritmo è valido nel caso n/m < 1. Tuttavia nel caso n/m > 1 solo una piccola modifica è necessaria, e cioè che questa volta dovremo contare fino a tutti gli interi compresi tra 1 e il maggiore tra m e [n/m]+1, dove [x] è la funzione parte intera di x¹.

Tabella²⁻³

[1]  Se "n/m < 1"  =>  "[n/m] = 0"  =>  "[n/m] + 1 = 1"  => "m > [n/m] + 1". Quindi, generalizzando, potremmo dire che, a prescindere dal fatto se n/m < o > 1, bisogna sempre contare  fino a max{m, [n/m] + 1}.

[2] Nella casella (m,n) della Tabella sono presenti tutti i numeri razionali del tipo a/m tali che n - 1 < a/m < n.

[3] Nella j-esima colonna (nel senso quella indicizzata dal numero intero j) della Tabella abbiamo tutti i numeri razionali del tipo n/m tali che j - 1 < n/m < j. Controllando la Tabella si intuisce dunque come in ogni intervallo del tipo [i, i + 1], al variare di i nei numeri naturali, cadano lo stesso numero di numeri razionali, confermando perciò la centralità di ciò che accade solamente nell'intervallo unitario, per esempio [0, 1].